อุ๋มและอิ๋มแต่ละคนมีเงินอยู่จำนวนหนึ่ง ทั้งสองคนตกลงที่จะเล่นเป่ายิงฉุบกัน โดยมีกติกาว่าในแต่ละครั้งที่เล่นคนที่ชนะจะได้เงิน 5 บาท คนที่แพ้จะเสียเงิน 2 บาท หลังจากที่ทั้งสองคนเล่นเป่ายิงฉุบไปสักพักหนึ่ง ปรากฏว่า อุ๋มได้เงินเพิ่มจากเดิม 37 บาท และอิ๋มได้เงินเพิ่มจากเดิม  2 บาท ถ้ามีกรณีเป่ายิงฉุบเสมอกันทั้งสองคนจะไม่เสียเงิน  แล้วอุ๋มเล่นเป่ายิงฉุบชนะทั้งหมดกี่ครั้ง

วิธีคิด

สมให้อุ๋มเป่ายิงฉุบชนะ x ครั้ง แพ้ y ครั้ง

ดังนั้น

5x – 2y = 37   ———–สมการ 1

5y – 2x = 2     ———–สมการ 2

คูณ สมการ 1 ด้วย 5 ได้

25x – 10 y = 185

คุณสมการ 2 ด้วย 2

10y  – 4x = 4

นำสมการ 1 + สมการ 2 ได้

21 x = 189

x = 9

คำตอบ 9

กำหนดให้  a,b,c เป็นจำนวนบวก ซึ่ง a:b:c = 2:3:5

ถ้า a² + b² + c² = 1,862 แล้ว a + b + c มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

กำหนดให้  

a = 2x

b = 3x

c = 5x

a² + b² + c² = 1,862

(2x)² + (3x)² + (5x)² = 1,862

4x² + 9x² + 25x² = 1,862

38x² = 1,862

x² = 49

x = 7

ดังนั้น

a = 14

b = 21

c = 35

a + b + c = 70

ตอบ 70

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนของความยาวด้านต่างๆดังนี้

AB:BC = 3:2 , BC:CD = 5:3 , CD:DA = 2:3

ถ้าความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม ABCD เป็น 60 เซนติเมตร แล้ว AB + DA เท่ากับกี่เซนติเมตร

วิธีคิด

ทำอัตราส่วนด้านเดียวกันให้เป็นตัวเลขเดียวกัน

AB:BC = 3:2

BC:CD = 5:3

ทำ BC ให้เป็นตัวเลขเดียวกัน

AB:BC = 15:10  ( คูณ 5 )

BC:CD = 10:6 ( คูณ 2 )

ทำ CD ให้เป็นตัวเลขเดียวกัน

จากโจทย์ CD:DA = 2:3

CD:DA = 6:9 ( คูณ 3 )

จะได้ AB:BC:CD:DA = 15:10:6:9

สมติให้ AB = 15x

จะได้ BC = 10x

CD = 6x

DA = 9x

จากโจทย์ความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม = 60

จะได้

15x + 10x + 6x + 9x = 60

40x = 60

x = 3/2

AB+ DA = 15x + 9x = 24(3/2) = 36

คำตอบ 36

อายุ(ปี) ของคนกลุ่มหนึ่ง เป็นดังนี้ 3,5,3,6,3,x,y โดยที่  10 < x < y

ถ้าอายุของคนกลุ่มนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต มากกว่าค่ามัธยฐานอยู่ 2 แล้ว x + y มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

ค่ามัธยฐาน คือ ค่าของข้อมูลที่อยู่ตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมดเมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก หรือ มากไปหาน้อย

เรียงอายุจากมากไปน้อยได้

3,3,3,5,6,x,y 

จะได้ค่ามัธยฐาน คื อ 5

จากโจทย์ ค่าเฉลี่ยมากกว่าค่ามัธยฐานอยู่ 2 ดังนั้นค่าเฉลี่ย = 7

จะได้ว่า  

20 + x + y = 49

x+ y = 29

คำตอบ 29

โยนลูกเต๋า 3 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด และ มีผลรวมของแต้มมากกว่า 6 มีทั้งหมดกี่วิธี

วิธีคิด

เนื่องจากจำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มรวมกันมากกว่า 6 มีมาก แต่จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าแต้มรวมกันน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 มีไม่กี่วิธี ดังนั้นจะคิดจำนวนวิธีทั้งหมด ลบ ด้วยจำนวนวิธีที่ลูกเต๋าแต้มรวมกันน้อยหรือเท่ากับ 6

วิธีคิด จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด

ลูกแรก มีโอกาสออกแต้ม 1-6 รวม 6 แบบ

ลูกที่สอง มีโอกาสออกแต้ม 5 แบบ ( ตัด 1 แบบ ที่เป็นตัวเลขซ้ำกับลูกแรก )

ลูกที่สาม มีโอกาสออกแต้ม 4 แบบ ( ตัด 2 แบบ ที่เป็นตัวเลขซ้ำกับ 2 ลูกแรก)

ดังนั้น จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด = 6 x 5 x 4 = 120 วิธี

วิธีที่ลูกเต๋าแต้มออกมารวมกันน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 มีดังนี้

1 +  2 + 3 = 6

1 + 3 + 2 = 6

2 + 1 + 3 = 6

2 + 3 + 1 = 6

3 + 1 + 2 = 6

3 + 2 + 1 = 6

รวม 6 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด และ มีผลรวมของแต้มมากกว่า 6 มีทั้งหมด = 120 -6 = 114 วิธี

คำตอบ 114

กำหนดให้  

และ x + y + z = d

ถ้าเมธินแสดงวิธีทำส่วนหนึ่ง ไว้ดังนี้  x = 3 ( a – y) , y = 3(b-z) , z 3 ( c=x) แล้ว a + b + c + d มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

จากโจทย์  

จะได้

x = 3 ( 11 – y )

y = 3 ( 6  – z )

z = 3 ( 7 – x )

ซึ่งเมื่อเทียบกับโจทย์

X = 3 ( a – y )

Y = 3 ( b – z)

Z = 3 ( c – x)

จะได้ a = 11 , b = 6 , c = 7

จากโจทย์  x + y + z = d

แทน x , y , z

3(11-y) + 3(6-z) + 3(7-x) = d

3( 11-y+6-z+7-x) = d
3 (24 – x – y – z) = d

3 (24 – ( x+y+z))=d

3(24 – d ) = d

72 – 3d = d

4d = 72

d = 18

จะได้ a + b + c + d = 11 + 6 + 7 + 18 = 42

คำตอบ 42

ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็ม ถ้า x-2 หาร  3x² – 4x – m ลงตัว และ x + 1 หาร 2x² + nx + 4 เหลือเศษ 1 แล้ว m+n มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

จากโจทย์ x-2 หาร 3x² – 4x – m ลงตัว

ดังนั้น m = 4

จากโจทย์ และ x + 1 หาร 2x² + nx + 4 เหลือเศษ 1

จะได้ n-2 = 3

n = 5

m + n = 4 + 5 = 9

คำตอบ 9

ให้ d เป็น ห.ร.ม ของ 68 และ 22

ถ้า a เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ และ b เป็นจำนวนเต็มลบ ที่ทำให้ d = 68 a + 22b แล้ว d(a-b) มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

 d เป็น ห.ร.ม ของ 68 และ 22 จะได้ d = 2

จาก โจทย์ d = 68 a + 22 b

68a + 22b = 2

a เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยสุดที่เป็นไปได้ ถ้าลอง a = 1 จะได้

68(1) + 22b = 2

22b = -66

b = -3

ได้ b เป็นจำนวนเต็มลบ สอดคล้องกับโจทย์

ดังนั้น d (a –b) = 2 ( 1- (-3)) = 8

คำตอบ 8

จอยขับรถออกจากบ้านตามถนนไปทางทิศเหนือเป็นระยะทาง 1 กิโลเมตร จะถึงโรงเรียนสุขวิทยา จากนั้นเลี้ยวไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ เป็นระยะทาง 24 กิโลเมตร แล้วเลี้ยวมาทางทิศใต้จนถึงตลาดซึ่งอยู่ทางทิศตะวันออกของโรงเรียนสุขวิทยาพอดี บ้านของจอยห่ายจากตลาดกี่กิโลเมตร
วิธีคิด
วาดรูปตามโจทย์ได้ดังนี้

จะได้ว่า x = y เนื่องจากเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม 45^o เท่ากัน 2 มุม จึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

จากสูตรพีทาโกรัส

  X² + y² = 24²

2x² = 24²

X² = 24×12

ระยะจากบ้านเป็นตลาด สมมติให้เป็นตัวแปร A

จะได้ A² = 1² + x²

A² = 12 + 24×12

A² = 289

A = 17

คำตอบ บ้านของจอยห่างจากตลาด 17 กิโลเมตร

ถ้า x,y เป็นจำนวนนับที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ต่อไปนี้
(1) ตัวหารร่วมมากของ x และ y คือ 6
(2) X² + xy = 288
แล้ว x+y มีค่าเท่าใด

วิธีคิด
จาก x² + xy = 288
ดึงตัวร่วม x ได้ x(x+y) = 288
แยกตัวประกอบของ 288 จะได้
288 = 6 * 6 * 8 = 6 * 6 * ( 1 + 7) = 6 * (6 + 42)
เนื่องจาก x และ y มี ห.ร.ม เป็น 6 แสดงว่า x และ y มี 6 เป็นตัวประกอบ จะได้ว่า x = 6 , y = 42

ตอบ x + y = 6 + 42 = 48