เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 28

วิธีคิด

Let the probability of a two-digit number chosen at random which a multiple of 7 is a/b. If the greatest common divisor of a and b is 1. Find a + b.

โจทย์ต้องการหาค่าความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกเลข 2 หลัก แล้วได้เป็นตัวเลขพหุคูณของ 7

ตัวเลข 2 หลัก มี 10-99 รวมทั้งหมด 90 ตัว

ตัวเลข 2 หลักที่เป็นพหุคูณของ 7 มีดังนี้ 14 ( 7×2), 21 ( 7×3),……98 (7×14) รวมทั้งหมด 13 ตัว

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกเลข 2 หลัก แล้วได้เป็นตัวเลขพหุคูณของ 7 = 13/90

จากโจทย์ If the greatest common divisor of a and b is 1 หมายถึง a, b มี ห.ร.ม เป็น 1 แสดงว่า a/b ไม่สามารตัดกันได้ นั่นคือเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ  ซึ่งค่าความน่าจะเป็นที่เราได้ 13/90 เป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว

a + b= 13 + 90 = 103

คำตอบ 103

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 14

กำหนดให้ a*b = ab + ba  เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มบวก

ถ้า 2*w = 100 แล้ว w มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

2*w = 100

2w + w2  = 100

ลองไล่ 2 ยกกำลังเลขต่างๆ

21  = 2 จะได้ w2 = 98  หาเลข w เป็นจำนวนเต็มไม่ได้

22 = 4 จะได้ w2 = 96 หาเลข w เป็นจำนวนเต็มไม่ได้

23 = 8 จะได้ w2 = 92 หาเลข w เป็นจำนวนเต็มไม่ได้

24 = 16 จะได้ w2 = 84 หาเลข w เป็นจำนวนเต็มไม่ได้

25 = 32 จะได้ w2 = 68 หาเลข w เป็นจำนวนเต็มไม่ได้

26 = 64 จะได้ w2 = 36 หาเลข w เป็นจำนวนเต็มได้ โดย w = 6

คำตอบ 6

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 13

  1. ถ้า a และ b เป็นคำตอบของสมการ 4  – x = 1

แล้ว a + b มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

4  – x = 1

4   = x + 1

กำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

16(x + 1 ) = (x + 1 )2

16x + 16 = x2 + 2x + 1

x2 + 2x + 1 – 16x – 16 = 0

x2 – 14x – 15 = 0

(x – 15) (x + 1) = 0

x = 15, -1

ดังนั้น  a + b= 15 – 1= 14

คำตอบ 14

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 12

จากรูปที่กำหนดให้มีสามเหลี่ยมด้านเท่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ กี่รูป

นับสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปเล็ก ได้ 25 รูป

รวมทั้งหมด 48 รูป

คำตอบ 48

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 11

อุ๋มและอิ๋มแต่ละคนมีเงินอยู่จำนวนหนึ่ง ทั้งสองคนตกลงที่จะเล่นเป่ายิงฉุบกัน โดยมีกติกาว่าในแต่ละครั้งที่เล่นคนที่ชนะจะได้เงิน 5 บาท คนที่แพ้จะเสียเงิน 2 บาท หลังจากที่ทั้งสองคนเล่นเป่ายิงฉุบไปสักพักหนึ่ง ปรากฏว่า อุ๋มได้เงินเพิ่มจากเดิม 37 บาท และอิ๋มได้เงินเพิ่มจากเดิม  2 บาท ถ้ามีกรณีเป่ายิงฉุบเสมอกันทั้งสองคนจะไม่เสียเงิน  แล้วอุ๋มเล่นเป่ายิงฉุบชนะทั้งหมดกี่ครั้ง

วิธีคิด

สมให้อุ๋มเป่ายิงฉุบชนะ x ครั้ง แพ้ y ครั้ง

ดังนั้น

5x – 2y = 37   ———–สมการ 1

5y – 2x = 2     ———–สมการ 2

คูณ สมการ 1 ด้วย 5 ได้

25x – 10 y = 185

คุณสมการ 2 ด้วย 2

10y  – 4x = 4

นำสมการ 1 + สมการ 2 ได้

21 x = 189

x = 9

คำตอบ 9

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 10

กำหนดให้  a,b,c เป็นจำนวนบวก ซึ่ง a:b:c = 2:3:5

ถ้า a2 + b2 + c2 = 1,862 แล้ว a + b + c มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

กำหนดให้  

a = 2x

b = 3x

c = 5x

a2 + b2 + c2 = 1,862

(2x)2 + (3x)2 + (5x)2 = 1,862

4x2 + 9x2 + 25x2 = 1,862

38x2 = 1,862

x2 = 49

x = 7

ดังนั้น

a = 14

b = 21

c = 35

a + b + c = 70

ตอบ 70

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 9

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนของความยาวด้านต่างๆดังนี้

AB:BC = 3:2 , BC:CD = 5:3 , CD:DA = 2:3

ถ้าความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม ABCD เป็น 60 เซนติเมตร แล้ว AB + DA เท่ากับกี่เซนติเมตร

วิธีคิด

ทำอัตราส่วนด้านเดียวกันให้เป็นตัวเลขเดียวกัน

AB:BC = 3:2

BC:CD = 5:3

ทำ BC ให้เป็นตัวเลขเดียวกัน

AB:BC = 15:10  ( คูณ 5 )

BC:CD = 10:6 ( คูณ 2 )

ทำ CD ให้เป็นตัวเลขเดียวกัน

จากโจทย์ CD:DA = 2:3

CD:DA = 6:9 ( คูณ 3 )

จะได้ AB:BC:CD:DA = 15:10:6:9

สมติให้ AB = 15x

จะได้ BC = 10x

CD = 6x

DA = 9x

จากโจทย์ความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม = 60

จะได้

15x + 10x + 6x + 9x = 60

40x = 60

x = 3/2

AB+ DA = 15x + 9x = 24(3/2) = 36

คำตอบ 36

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 8

อายุ(ปี) ของคนกลุ่มหนึ่ง เป็นดังนี้ 3,5,3,6,3,x,y โดยที่  10 < x < y

ถ้าอายุของคนกลุ่มนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต มากกว่าค่ามัธยฐานอยู่ 2 แล้ว x + y มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

ค่ามัธยฐาน คือ ค่าของข้อมูลที่อยู่ตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมดเมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก หรือ มากไปหาน้อย

เรียงอายุจากมากไปน้อยได้

3,3,3,5,6,x,y 

จะได้ค่ามัธยฐาน คื อ 5

จากโจทย์ ค่าเฉลี่ยมากกว่าค่ามัธยฐานอยู่ 2 ดังนั้นค่าเฉลี่ย = 7

จะได้ว่า  

20 + x + y = 49

x+ y = 29

คำตอบ 29

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 7

โยนลูกเต๋า 3 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด และ มีผลรวมของแต้มมากกว่า 6 มีทั้งหมดกี่วิธี

วิธีคิด

เนื่องจากจำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มรวมกันมากกว่า 6 มีมาก แต่จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าแต้มรวมกันน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 มีไม่กี่วิธี ดังนั้นจะคิดจำนวนวิธีทั้งหมด ลบ ด้วยจำนวนวิธีที่ลูกเต๋าแต้มรวมกันน้อยหรือเท่ากับ 6

วิธีคิด จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด

ลูกแรก มีโอกาสออกแต้ม 1-6 รวม 6 แบบ

ลูกที่สอง มีโอกาสออกแต้ม 5 แบบ ( ตัด 1 แบบ ที่เป็นตัวเลขซ้ำกับลูกแรก )

ลูกที่สาม มีโอกาสออกแต้ม 4 แบบ ( ตัด 2 แบบ ที่เป็นตัวเลขซ้ำกับ 2 ลูกแรก)

ดังนั้น จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด = 6 x 5 x 4 = 120 วิธี

วิธีที่ลูกเต๋าแต้มออกมารวมกันน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 มีดังนี้

1 +  2 + 3 = 6

1 + 3 + 2 = 6

2 + 1 + 3 = 6

2 + 3 + 1 = 6

3 + 1 + 2 = 6

3 + 2 + 1 = 6

รวม 6 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด และ มีผลรวมของแต้มมากกว่า 6 มีทั้งหมด = 120 -6 = 114 วิธี

คำตอบ 114