เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 7

โยนลูกเต๋า 3 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด และ มีผลรวมของแต้มมากกว่า 6 มีทั้งหมดกี่วิธี

วิธีคิด

เนื่องจากจำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มรวมกันมากกว่า 6 มีมาก แต่จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าแต้มรวมกันน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 มีไม่กี่วิธี ดังนั้นจะคิดจำนวนวิธีทั้งหมด ลบ ด้วยจำนวนวิธีที่ลูกเต๋าแต้มรวมกันน้อยหรือเท่ากับ 6

วิธีคิด จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด

ลูกแรก มีโอกาสออกแต้ม 1-6 รวม 6 แบบ

ลูกที่สอง มีโอกาสออกแต้ม 5 แบบ ( ตัด 1 แบบ ที่เป็นตัวเลขซ้ำกับลูกแรก )

ลูกที่สาม มีโอกาสออกแต้ม 4 แบบ ( ตัด 2 แบบ ที่เป็นตัวเลขซ้ำกับ 2 ลูกแรก)

ดังนั้น จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด = 6 x 5 x 4 = 120 วิธี

วิธีที่ลูกเต๋าแต้มออกมารวมกันน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 มีดังนี้

1 +  2 + 3 = 6

1 + 3 + 2 = 6

2 + 1 + 3 = 6

2 + 3 + 1 = 6

3 + 1 + 2 = 6

3 + 2 + 1 = 6

รวม 6 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกมาแต้มต่างกันทั้งหมด และ มีผลรวมของแต้มมากกว่า 6 มีทั้งหมด = 120 -6 = 114 วิธี

คำตอบ 114

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 6

กำหนดให้  

และ x + y + z = d

ถ้าเมธินแสดงวิธีทำส่วนหนึ่ง ไว้ดังนี้  x = 3 ( a – y) , y = 3(b-z) , z 3 ( c=x) แล้ว a + b + c + d มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

จากโจทย์  

จะได้

x = 3 ( 11 – y )

y = 3 ( 6  – z )

z = 3 ( 7 – x )

ซึ่งเมื่อเทียบกับโจทย์

X = 3 ( a – y )

Y = 3 ( b – z)

Z = 3 ( c – x)

จะได้ a = 11 , b = 6 , c = 7

จากโจทย์  x + y + z = d

แทน x , y , z

3(11-y) + 3(6-z) + 3(7-x) = d

3( 11-y+6-z+7-x) = d
3 (24 – x – y – z) = d

3 (24 – ( x+y+z))=d

3(24 – d ) = d

72 – 3d = d

4d = 72

d = 18

จะได้ a + b + c + d = 11 + 6 + 7 + 18 = 42

คำตอบ 42

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 5

ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็ม ถ้า x-2 หาร  3x2 – 4x – m ลงตัว และ x + 1 หาร 2x2 + nx + 4 เหลือเศษ 1 แล้ว m+n มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

จากโจทย์ x-2 หาร 3x2 – 4x – m ลงตัว

ดังนั้น m = 4

จากโจทย์ และ x + 1 หาร 2x2 + nx + 4 เหลือเศษ 1

จะได้ n-2 = 3

n = 5

m + n = 4 + 5 = 9

คำตอบ 9

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 4

ให้ d เป็น ห.ร.ม ของ 68 และ 22

ถ้า a เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ และ b เป็นจำนวนเต็มลบ ที่ทำให้ d = 68 a + 22b แล้ว d(a-b) มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

 d เป็น ห.ร.ม ของ 68 และ 22 จะได้ d = 2

จาก โจทย์ d = 68 a + 22 b

68a + 22b = 2

a เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยสุดที่เป็นไปได้ ถ้าลอง a = 1 จะได้

68(1) + 22b = 2

22b = -66

b = -3

ได้ b เป็นจำนวนเต็มลบ สอดคล้องกับโจทย์

ดังนั้น d (a –b) = 2 ( 1- (-3)) = 8

คำตอบ 8

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 3

จอยขับรถออกจากบ้านตามถนนไปทางทิศเหนือเป็นระยะทาง 1 กิโลเมตร จะถึงโรงเรียนสุขวิทยา จากนั้นเลี้ยวไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ เป็นระยะทาง 24 กิโลเมตร แล้วเลี้ยวมาทางทิศใต้จนถึงตลาดซึ่งอยู่ทางทิศตะวันออกของโรงเรียนสุขวิทยาพอดี บ้านของจอยห่ายจากตลาดกี่กิโลเมตร
วิธีคิด
วาดรูปตามโจทย์ได้ดังนี้

จะได้ว่า x = y เนื่องจากเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม 45o เท่ากัน 2 มุม จึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

จากสูตรพีทาโกรัส

  X2 + y2 = 242

2x2 = 242

X2 = 24×12

ระยะจากบ้านเป็นตลาด สมมติให้เป็นตัวแปร A

จะได้ A2 = 12 + x2

A2 = 12 + 24×12

A2 = 289

A = 17

คำตอบ บ้านของจอยห่างจากตลาด 17 กิโลเมตร

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 2

ถ้า x,y เป็นจำนวนนับที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ต่อไปนี้
(1) ตัวหารร่วมมากของ x และ y คือ 6
(2) X2 + xy = 288
แล้ว x+y มีค่าเท่าใด

วิธีคิด
จาก x2 + xy = 288
ดึงตัวร่วม x ได้ x(x+y) = 288
แยกตัวประกอบของ 288 จะได้
288 = 6 * 6 * 8 = 6 * 6 * ( 1 + 7) = 6 * (6 + 42)
เนื่องจาก x และ y มี ห.ร.ม เป็น 6 แสดงว่า x และ y มี 6 เป็นตัวประกอบ จะได้ว่า x = 6 , y = 42

ตอบ x + y = 6 + 42 = 48

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 1

ถ้าพ่อค้าขายสินค้าหนึ่งซื่งปิดราคาขายไว้สูงกว่าทุนร้อยละ 10 เมื่อมีผู้มาซื้อจะลดราคาที่ปิดไว้ร้อยละ 10 แล้วพ่อค้าคนนี้ขายสินค้าได้กำไรหรือขาดทุนคิดเป็นร้อยละเท่าใด

วิธีคิด

พ่อค้าปิดราคาขายไว้สูงกว่าทุนร้อยละ 10 แสดงว่าถ้าต้นทุน 100 พ่อค้าจะปิดราคาขาย 110

พ่อค้าลดราคาที่ปิดไว้ร้อยละ 10 แสดงว่าลดราคา 10/100 * 110 = 11 บาท

สรุป ขายสินค้าในราคา 110 – 11 = 99 บาท ต้นทุน 100 คำตอบคือขาดทุน 1%

เฉลย ข้อสอบ สพฐ มัธยมต้น ปี 2562 ข้อ 18

กำหนดให้ a,b และ c เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งมีผลคูณ a,b และ c เท่ากับ 222+1 แล้ว a+b+c มีค่าเท่าใด

วิธีคิด

จากสูตร (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab

222 + 1 = (211+1)2 – 2(211)(1)

222 + 1 = (211+1)2 – 212

ใช้สูตร a2-b2 = (a+b)(a-b)

222+ 1 = (211+1+26)(211+1-26)

222+ 1 = (2113)(1985)

222+ 1 = (2113)(5)(397)

จะได้ว่า a,b,c คือ 2113,5,397

a+b+c = 2113 + 5 + 397 = 2515

เทคนิคการบวกเลขเศษส่วน

ข้อสอบแนวแข่งขัน มักจะมีโจทย์เกี่ยวกันการบวกเลขเศษส่วนที่ต้องอาศัยการสังเกตุ แล้วจะได้วิธีคิดที่รวดเร็ว ตัวอย่างเช่น

 

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + …..+ 1/132

สังเกตุที่ตัวส่วน จะเห็นได้ว่า สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้

 

2 = 1×2

6 = 2×3

12 = 3×4

20 = 4×5

.

.

.

132 = 11×12

จะเห็นได้ว่าเป็นตัวเลขเรียงกันคูณกัน สามารถแตกได้ดังนี้

 

1/2 = 1 – 1/2

1/6 = 1/2 – 1/3

1/12 = 1/3 – 1/4

1/20 = 1/4 – 1/5

.

.

.

1/132 = 1/11 – 1/12

 

จะเห็นได้ว่าเมื่อนำมาบวกกันทั้งหมด จะได้หักล้างกัน เหลือแค่ตัวแรก ลบตัวสุดท้ายเท่านั้นคือ 1 – 1/12 = 11/12

 

เทคนิคนี้มีในโจทย์การแข่งขั้น ทั้งราชภัฏ Tedet สสวท สพฐ ASMO สมาคมคณิตศาสตร์ แต่อาจจะมีการพลิกแพลงบ้าง ซึ่งถ้าเด็กเข้าใจพื้นฐานตรงนี้แล้ว สามารถนำโจทย์ที่ยากขึ้นแต่ใช้หลักการนี้มาลองให้เด็กฝึกทำได้ค่ะ

โจทย์กำไร ขาดทุน ( เพชรยอดมงกุฏ)

ตู็เย็นหลังหนึ่งตั้งราคาไว้กำไรเท่าตัว ต่อมาประกาศลดราคาให้แก่ผู้ซื้อ 20% เมื่อลดราคาแล้วยังได้กำไรกี่เปอร์เซ็นต์

 

กำไรเท่าตัว หมายถึง กำไรเท่ากับราคาต้นทุน ดังนั้นถ้าต้นทุนมา 100 บาท ตั้งราคาขาย 200 บาท

ประกาศลดราคา 20% หมายถึง ราคา 100 บาท ลด 20 บาท

ดังนั้นถ้าราคาขาย 200 บาท ลดราคา 20*200/100 = 40 บาท

ขายในราคา 200-40 = 160 บาท

ต้นทุน 100 บาท ขาย 160 บาท กำไร 60 บาท

คำตอบ 60%